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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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7. [Sustitución trigonométrica] Asumiendo la validez de

I) ∫11+x2dx=arctan⁡(x)+C\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C

II) ∫11−x2dx=arcsen⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen}(x)+C

III) ∫11−x2dx=arctanh⁡(x)+C\int \frac{1}{1-x^{2}} d x=\operatorname{arctanh}(x)+C

IV) ∫11+x2dx=arcsenh⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\operatorname{arcsenh}(x)+C

utilice el método de sustitución para calcular las siguientes integrales:
a) ∫dx3+4x2\int \frac{d x}{3+4 x^{2}}

Respuesta

La integral que queremos resolver ahora es esta:

∫dx3+4x2\int \frac{d x}{3+4 x^{2}}

Fijate que la estructura es "bastante parecida" (mirala con cariño jaja) a esta que nos da el enunciado:

∫11+x2dx=arctan⁡(x)+C\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C

Entonces, lo que vamos a tratar de hacer es reescribir nuestra integral, tomando la sustitución adecuada, de tal manera que me aparezca la expresión 11+u2\frac{1}{1+u^{2}}, que yo se que al integrarla me va a dar arctan⁡(u)\arctan (u). 

Vamos despacito entonces:

∫13+4x2 dx\int \frac{1}{3+4 x^{2}} \, dx

Saco factor común 33 en el denominador (porque mi objetivo es que me aparezca al menos el 1+...1 + ...)

∫13(1+4x23) dx=13∫ 11+4x23 dx\int \frac{1}{3 (1 + \frac{4 x^{2}}{3})} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + \frac{4 x^{2}}{3}} \, dx

Y ahora escribo 4x23\frac{4 x^{2}}{3} como algo al cuadrado:

13∫ 11+4x23 dx= 13∫ 11+(2x3)2 dx\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + \frac{4 x^{2}}{3}} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + (\frac{2x}{\sqrt{3}})^2} \, dx

Entonces ahora si tomo la sustitución u=2x3u = \frac{2x}{\sqrt{3}} me va a aparecer exactamente lo que necesitamos ;)

u=2x3u = \frac{2x}{\sqrt{3}}

du=23dx⇒dx=32dudu = \frac{2}{\sqrt{3}} dx \Rightarrow dx = \frac{\sqrt{3}}{2} du

Escribimos nuestra integral en términos de uu

13∫ 11+(2x3)2 dx= 13∫ 11+u2  32du=36∫ 11+u2 du= 36⋅arctan⁡(u)+C \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + (\frac{2x}{\sqrt{3}})^2} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u^2} \, \frac{\sqrt{3}}{2} du = \frac{\sqrt{3}}{6} \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \arctan(u) + C 

Volvemos a la variable original xx y el resultado de la integral es:

∫dx3+4x2= 36⋅arctan⁡(2x3)+C\int \frac{d x}{3+4 x^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \arctan(\frac{2x}{\sqrt{3}}) + C
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