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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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7. [Sustitución trigonométrica] Asumiendo la validez de

I) $\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C$

II) $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen}(x)+C$

III) $\int \frac{1}{1-x^{2}} d x=\operatorname{arctanh}(x)+C$

IV) $\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\operatorname{arcsenh}(x)+C$

utilice el método de sustitución para calcular las siguientes integrales:
a) $\int \frac{d x}{3+4 x^{2}}$

Respuesta

La integral que queremos resolver ahora es esta:

$\int \frac{d x}{3+4 x^{2}}$

Fijate que la estructura es "bastante parecida" (mirala con cariño jaja) a esta que nos da el enunciado:

$\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C$

Entonces, lo que vamos a tratar de hacer es reescribir nuestra integral, tomando la sustitución adecuada, de tal manera que me aparezca la expresión $\frac{1}{1+u^{2}}$, que yo se que al integrarla me va a dar $\arctan (u)$. 

Vamos despacito entonces:

$\int \frac{1}{3+4 x^{2}} \, dx$

Saco factor común $3$ en el denominador (porque mi objetivo es que me aparezca al menos el $1 + ...$)

$\int \frac{1}{3 (1 + \frac{4 x^{2}}{3})} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + \frac{4 x^{2}}{3}} \, dx $

Y ahora escribo $\frac{4 x^{2}}{3}$ como algo al cuadrado:

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + \frac{4 x^{2}}{3}} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + (\frac{2x}{\sqrt{3}})^2} \, dx $

Entonces ahora si tomo la sustitución $u = \frac{2x}{\sqrt{3}}$ me va a aparecer exactamente lo que necesitamos ;)

$u = \frac{2x}{\sqrt{3}}$

$du = \frac{2}{\sqrt{3}} dx \Rightarrow dx = \frac{\sqrt{3}}{2} du$

Escribimos nuestra integral en términos de $u$

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + (\frac{2x}{\sqrt{3}})^2} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u^2} \, \frac{\sqrt{3}}{2} du = \frac{\sqrt{3}}{6} \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \arctan(u) + C $

Volvemos a la variable original $x$ y el resultado de la integral es:

$\int \frac{d x}{3+4 x^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \arctan(\frac{2x}{\sqrt{3}}) + C$
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